AP Physics C: Mechanics 微積分基礎・力學

建立 2026-11-13 更新 2026-11-13

Unit 3 功、能量與功率 Work, Energy, and Power（微積分）

Physics C 用積分定義變力做功 \(W = \int \vec F\cdot d\vec r\)，並用導數連結保守力與位能 \(F = -\dfrac{dU}{dx}\)。本單元學習功–能定理、保守力與非保守力、位能曲線的判讀（平衡點與穩定性），以及瞬時功率 \(P = \vec F\cdot\vec v\)。

核心觀念

變力做功

\[ W = \int_{x_1}^{x_2} F(x)\,dx \]

彈簧力 \(F = -kx\) 從 \(0\) 拉到 \(x\)，外力做功 \(W = \int_0^x kx\,dx = \tfrac12 kx^2\)。

保守力與位能的關係

保守力（conservative force）做功與路徑無關，可以定義位能：

\[ \Delta U = -\int_{x_1}^{x_2} F\,dx, \qquad F(x) = -\frac{dU}{dx} \]

萬有引力位能 \(U_G = -\dfrac{GMm}{r}\)（無窮遠為零）；由此可推出脫離速度 \(v_{esc} = \sqrt{2GM/R}\)。

位能曲線怎麼看？

\(F = -dU/dx\)：曲線斜率為正時力指向 \(-x\)。
平衡點：\(dU/dx = 0\)。
穩定平衡：\(U\) 的極小值（\(d^2U/dx^2 > 0\)）；不穩定平衡：極大值。
總能量 \(E\) 畫成水平線，\(E < U\) 的區域物體到不了，交點是轉折點（turning point）。

功–能定理與能量守恆

\(W_{net} = \Delta K\)；只有保守力做功時 \(K + U\) 守恆，有非保守力（摩擦）時 \(W_{nc} = \Delta E_{mech}\)。

瞬時功率

\[ P = \frac{dW}{dt} = \vec F\cdot\vec v \]

常見錯誤

這幾個觀念最常被扣分

\(F = -dU/dx\) 漏掉負號。
萬有引力位能用 \(mgh\)：離地很遠時要用 \(-GMm/r\)。
把位能曲線當成物體運動的「軌跡」。

練習題

練習 1：變力做功

力 \(F(x) = 3x^2 + 2\ \text{(N)}\) 沿 \(x\) 軸作用，求物體從 \(x = 0\) 移到 \(x = 2\ \text{m}\) 時此力做的功。

看解答

\[ W = \int_0^2 (3x^2 + 2)\,dx = [x^3 + 2x]_0^2 = 12\ \text{J} \]

練習 2：由位能求力

位能 \(U(x) = 4x^3 - 12x\ \text{(J)}\)。求 \(F(x)\) 與平衡點，並判斷穩定性。

看解答

\(F = -\dfrac{dU}{dx} = -12x^2 + 12\)。

平衡點 \(F = 0 \Rightarrow x = \pm1\ \text{m}\)。

\(\dfrac{d^2U}{dx^2} = 24x\)：\(x = 1\) 為正（極小）→ 穩定；\(x = -1\) 為負（極大）→ 不穩定。

練習 3：非線性彈簧

非線性彈簧的力 \(F = -kx - cx^3\)，\(k = 100\ \text{N/m}\)、\(c = 400\ \text{N/m}^3\)。把它從原長拉伸 \(0.50\ \text{m}\)，外力需做多少功？

看解答

\[ W = \int_0^{0.5} (kx + cx^3)\,dx = \tfrac12(100)(0.25) + \tfrac14(400)(0.0625) = 12.5 + 6.25 = 18.75\ \text{J} \]

練習 4：脫離速度

求地球表面的脫離速度。（\(GM_{地} = 3.99\times10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2\)，\(R = 6.37\times10^6\ \text{m}\)）

看解答

\(\tfrac12 mv^2 - \dfrac{GMm}{R} = 0\)

\[ v_{esc} = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{\frac{2(3.99\times10^{14})}{6.37\times10^6}} \approx 1.12\times10^4\ \text{m/s} \]

練習 5：瞬時功率

\(2.0\ \text{kg}\) 的物體受力後速度 \(v(t) = 3t^2\ \text{(m/s)}\)。求 \(t = 2\ \text{s}\) 時淨力的瞬時功率。

看解答

\(a = 6t\)，\(F = ma = 12t\)。\(t = 2\)：\(F = 24\ \text{N}\)、\(v = 12\ \text{m/s}\)。

\(P = Fv = 288\ \text{W}\)。（驗算：\(K = \tfrac12(2)(9t^4) = 9t^4\)，\(dK/dt = 36t^3 = 288\ \text{W}\) ✓）