AP Physics C: Mechanics 微積分基礎・力學
Unit 2 力與移動動力學 Force and Translational Dynamics（微積分）
Physics C 的動力學把牛頓第二定律 \(\Sigma F = m\dfrac{dv}{dt}\) 當成微分方程：當力隨速度或時間改變（例如空氣阻力），就要解微分方程得到 \(v(t)\)。本單元也涵蓋連續物體的質心積分、摩擦力、圓周運動與萬有引力，是 Physics C 力學比重最高的單元之一。
核心觀念
質心怎麼用積分算？
連續質量分布的質心：
若細桿線密度 \(\lambda(x)\)，則 \(dm = \lambda\,dx\)。
速度相關阻力：終端速度
物體在流體中受阻力 \(F = -bv\) 下落時：
分離變數積分（初速 0）得：
\(t \to \infty\) 時趨近終端速度 \(v_T = \dfrac{mg}{b}\)，時間常數 \(\tau = m/b\)。
摩擦力、斜面與連結物體
與 AP Physics 1 相同：畫自由體圖、選座標、沿各軸列 \(\Sigma F = ma\)。Physics C 的題目常要求符號解（例如用 \(m_1, m_2, \mu, \theta\) 表示加速度），再討論極限情況是否合理。
圓周運動
- 向心加速度 \(a_c = v^2/r\)；非等速圓周運動另有切線加速度 \(a_t = dv/dt\)。
- 鉛直圓周在最高點的最小速率：\(mg = mv^2/r \Rightarrow v_{min} = \sqrt{gr}\)。
- 斜坡彎道（無摩擦）設計速率：\(\tan\theta = \dfrac{v^2}{rg}\)。
萬有引力
\(F_g = \dfrac{Gm_1m_2}{r^2}\)；圓軌道速率 \(v = \sqrt{GM/r}\)，週期滿足克卜勒第三定律 \(T^2 = \dfrac{4\pi^2}{GM}r^3\)。
常見錯誤
這幾個觀念最常被扣分
- 阻力題直接套等加速度公式：阻力隨速度變化，加速度不固定。
- 質心積分時 \(dm\) 沒換成 \(\lambda\,dx\) 或積分範圍錯誤。
- 符號解最後沒檢查單位與極限情況。
推薦影音
Physics C 動力學複習（Flipping Physics）
簡述：以微積分觀點複習牛頓三大定律、各種基本力、摩擦力與阻力，對應本頁前半段。
練習題
以下取 \(g = 9.8\ \text{m/s}^2\)。
練習 1：非均勻細桿的質心
長 \(L = 2.0\ \text{m}\) 的細桿，線密度 \(\lambda(x) = 3x\ \text{(kg/m)}\)，\(x\) 從左端量起。求質量與質心位置。
看解答
\(M = \int_0^2 3x\,dx = 6.0\ \text{kg}\)。
質心偏向較重的右端。
練習 2：終端速度
\(0.10\ \text{kg}\) 的小球在油中由靜止下沉，阻力 \(F = -bv\)，\(b = 0.50\ \text{kg/s}\)（忽略浮力）。求終端速度與到達終端速度 63% 所需時間。
看解答
\(v_T = \dfrac{mg}{b} = \dfrac{0.10 \times 9.8}{0.50} = 1.96\ \text{m/s}\)。
\(v = v_T(1 - e^{-t/\tau})\)，\(1 - e^{-1} \approx 0.63\)，所以 \(t = \tau = m/b = 0.20\ \text{s}\)。
練習 3：符號解：斜面上的連結物體
質量 \(m_1\) 的木塊放在傾角 \(\theta\) 的光滑斜面上，以輕繩跨過頂端滑輪連接懸吊的 \(m_2\)。求加速度（以 \(m_2\) 下降為正）。
看解答
系統沿繩方向的淨力：\(m_2g - m_1g\sin\theta\)。
檢查：\(\theta = 0\) 時變成 \(\dfrac{m_2g}{m_1+m_2}\)（水平桌面），合理。
練習 4：鉛直圓周運動
\(0.50\ \text{kg}\) 的球綁在 \(1.0\ \text{m}\) 繩上做鉛直圓周運動，最高點速率 \(4.0\ \text{m/s}\)。最高點的繩張力多少？
看解答
最高點張力與重力都向下指向圓心：\(F_T + mg = \dfrac{mv^2}{r}\)
練習 5：衛星週期
人造衛星在距地心 \(7.0\times10^6\ \text{m}\) 的圓軌道上運行，求週期。（\(GM_{地} = 3.99\times10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2\)）
看解答
約 97 分鐘。