AP Physics C: Mechanics 微積分基礎・力學

建立 2026-11-13 更新 2026-11-13

Unit 4 線動量 Linear Momentum（微積分）

Physics C 的動量單元用積分定義衝量 \(\vec J = \int \vec F\,dt\)，並把牛頓第二定律寫成更一般的形式 \(\vec F_{net} = \dfrac{d\vec p}{dt}\)。本單元處理隨時間變化的力、一維與二維碰撞、質心運動，以及系統的動量守恆。

核心觀念

牛頓第二定律的動量形式

\[ \vec F_{net} = \frac{d\vec p}{dt} \]

質量固定時就是 \(m\vec a\)；這個形式也適用於討論系統總動量的變化。

衝量是力對時間的積分

\[ \vec J = \int_{t_1}^{t_2}\vec F\,dt = \Delta\vec p \]

動量守恆與碰撞

系統外力淨和為零時 \(\Sigma\vec p\) 守恆，\(x\)、\(y\) 分量各自守恆。

一維彈性碰撞（\(m_2\) 原本靜止）的結果：

\[ v_{1f} = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}v_{1i}, \qquad v_{2f} = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}v_{1i} \]

彈性碰撞另一個好用的性質：相對速度大小不變、方向反轉，\(v_{1i} - v_{2i} = -(v_{1f} - v_{2f})\)。

質心運動

\[ \vec v_{cm} = \frac{\Sigma m_i\vec v_i}{M}, \qquad \vec F_{ext} = M\vec a_{cm} \]

外力只決定質心怎麼動；內力（例如爆炸）不改變質心軌跡。

常見錯誤

這幾個觀念最常被扣分

力隨時間變化時直接用 \(F\Delta t\)：要積分。
二維碰撞只寫一條守恆式。
以為碰撞時重力等外力讓動量不守恆：碰撞時間極短，外力衝量可忽略。

練習題

練習 1：變力的衝量

\(0.50\ \text{kg}\) 的靜止物體受力 \(F(t) = 6t - 3t^2\ \text{(N)}\)，作用時間 \(0 \le t \le 2\ \text{s}\)。求衝量與最終速度。

看解答

\[ J = \int_0^2 (6t - 3t^2)\,dt = [3t^2 - t^3]_0^2 = 12 - 8 = 4.0\ \text{N·s} \]

\(v = J/m = 8.0\ \text{m/s}\)。

練習 2：彈性碰撞

\(1.0\ \text{kg}\) 的球以 \(6.0\ \text{m/s}\) 與靜止的 \(2.0\ \text{kg}\) 球正面彈性碰撞。碰後兩球速度？

看解答

\[ v_{1f} = \frac{1 - 2}{3}(6.0) = -2.0\ \text{m/s}, \qquad v_{2f} = \frac{2(1)}{3}(6.0) = 4.0\ \text{m/s} \]

第一顆球反彈。驗算動量：\(6 = -2 + 8\) ✓。

練習 3：二維碰撞

\(2.0\ \text{kg}\) 的冰球以 \(5.0\ \text{m/s}\) 向東（\(+x\)）撞上靜止的 \(3.0\ \text{kg}\) 冰球。碰後 \(2.0\ \text{kg}\) 冰球的速度為 \((1.8, 2.4)\ \text{m/s}\)（東、北分量）。求 \(3.0\ \text{kg}\) 冰球的速度分量。

看解答

\(x\)：\(2.0(5.0) = 2.0(1.8) + 3.0\,v_x \Rightarrow v_x \approx 2.13\ \text{m/s}\)

\(y\)：\(0 = 2.0(2.4) + 3.0\,v_y \Rightarrow v_y = -1.6\ \text{m/s}\)

\(3.0\ \text{kg}\) 冰球速度 \((2.13, -1.6)\ \text{m/s}\)，大小約 \(2.7\ \text{m/s}\)，朝東偏南。

練習 4：彈道擺

\(0.010\ \text{kg}\) 的子彈射入懸吊的 \(2.0\ \text{kg}\) 木塊並嵌在裡面，木塊上升 \(0.050\ \text{m}\)。子彈原本速率多少？（\(g = 9.8\ \text{m/s}^2\)）

看解答

上升階段能量守恆：\(V = \sqrt{2gh} = \sqrt{2(9.8)(0.050)} \approx 0.99\ \text{m/s}\)。

碰撞階段動量守恆：\(v = \dfrac{(m + M)V}{m} = \dfrac{2.01 \times 0.99}{0.010} \approx 199\ \text{m/s}\)。

約 200 m/s。注意碰撞階段動能不守恆，兩階段要分開處理。

練習 5：質心不動

\(60\ \text{kg}\) 的人站在 \(40\ \text{kg}\)、長 \(5.0\ \text{m}\) 的小船船尾，船停在無摩擦水面上。人走到船頭時，船移動多遠？

看解答

無外力，質心位置不變。設船後退 \(d\)，人相對地面前進 \(5.0 - d\)：

\[ 60(5.0 - d) = 40d \Rightarrow d = 3.0\ \text{m} \]