AP Physics C: E&M 微積分基礎・電磁學

建立 2026-11-13 更新 2026-11-13

Unit 13 電磁感應 Electromagnetic Induction

電磁感應（electromagnetic induction）是變化的磁通量產生感應電動勢的現象，由法拉第定律描述，方向由冷次定律決定。本單元學習法拉第定律、動生電動勢、電感與自感，並分析 RL 電路的指數響應與 LC 電路的電磁振盪，是 Physics C: E&M 的最後一個單元。

核心觀念

法拉第定律與冷次定律

\[ \varepsilon = -N\frac{d\Phi_B}{dt}, \qquad \Phi_B = \int\vec B\cdot d\vec A \]

磁通量可因 \(B\)、面積 \(A\) 或夾角改變而變化。負號代表冷次定律：感應電流產生的磁場反抗磁通量的變化。

動生電動勢

長 \(L\) 的導體棒以速度 \(v\) 垂直切割磁場：\(\varepsilon = BLv\)。若棒接成迴路、電阻 \(R\)，感應電流 \(I = BLv/R\)，棒受磁阻力 \(F = ILB = \dfrac{B^2L^2v}{R}\)，這個力讓棒減速，即「磁煞車」。

電感與自感

電感（inductance）\(L\) 描述線圈反抗電流變化的程度：

\[ \varepsilon_L = -L\frac{dI}{dt}, \qquad U_L = \frac12 LI^2 \]

長螺線管 \(L = \mu_0 n^2 A\ell\)。

RL 電路

電池 \(\varepsilon\) 接上串聯的 \(R\) 與 \(L\)：

\[ I(t) = \frac{\varepsilon}{R}\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \quad \tau = \frac{L}{R} \]

剛接通時電感像斷路（\(I = 0\)），很久之後像導線（\(I = \varepsilon/R\)）。

LC 振盪

充電的電容器接上電感，能量在電場與磁場之間來回轉換：

\[ \frac{d^2q}{dt^2} = -\frac{1}{LC}q, \qquad \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} \]

這與彈簧簡諧運動的方程式形式完全相同。

常見錯誤

這幾個觀念最常被扣分

RL 與 RC 電路的 \(t = 0\) 行為弄反：電感一開始像斷路，電容一開始像導線。
冷次定律判斷感應電流時，看的是磁通量的變化方向。
時間常數寫成 \(LR\)：正確是 \(L/R\)。

練習題

以下取 \(\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\ \text{T·m/A}\)。

練習 1：隨時間變化的磁場

面積 \(0.050\ \text{m}^2\)、\(200\) 匝的線圈垂直於磁場 \(B(t) = 0.20t^2\ \text{(T)}\)。求 \(t = 3.0\ \text{s}\) 時的感應電動勢。

看解答

\[ |\varepsilon| = NA\frac{dB}{dt} = 200(0.050)(0.40t) = 4.0t = 12\ \text{V} \]

練習 2：磁煞車的終端速度

質量 \(m\)、長 \(L\) 的導體棒在鉛直導軌上由靜止落下，導軌頂端接電阻 \(R\)，水平磁場 \(B\) 垂直迴路平面。求終端速度。

看解答

終端速度時磁阻力等於重力：\(\dfrac{B^2L^2v_T}{R} = mg\)

\[ v_T = \frac{mgR}{B^2L^2} \]

練習 3：螺線管的電感

長 \(0.30\ \text{m}\)、\(500\) 匝、截面積 \(1.0\times10^{-3}\ \text{m}^2\) 的螺線管，電感多少？

看解答

\(n = 500/0.30\)，\(L = \mu_0 n^2 A\ell = \mu_0\dfrac{N^2A}{\ell}\)：

\[ L = \frac{(4\pi\times10^{-7})(500^2)(1.0\times10^{-3})}{0.30} \approx 1.05\times10^{-3}\ \text{H} \]

練習 4：RL 電路

\(\varepsilon = 12\ \text{V}\)、\(R = 6.0\ \Omega\)、\(L = 3.0\ \text{H}\) 串聯。求時間常數、最終電流，以及電流達最終值 90% 所需時間。

看解答

\(\tau = L/R = 0.50\ \text{s}\)，\(I_{max} = 12/6.0 = 2.0\ \text{A}\)。

\[ 0.90 = 1 - e^{-t/0.50} \Rightarrow t = 0.50\ln10 \approx 1.15\ \text{s} \]

練習 5：LC 振盪

\(L = 2.0\ \text{mH}\)、\(C = 5.0\ \mu\text{F}\) 的 LC 電路，振盪頻率多少？若電容器最大電荷 \(Q_0 = 10\ \mu\text{C}\)，最大電流多少？

看解答

\[ \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{(2.0\times10^{-3})(5.0\times10^{-6})}} = 1.0\times10^4\ \text{rad/s} \]

\(f = \omega/2\pi \approx 1.6\ \text{kHz}\)；\(I_{max} = \omega Q_0 = 10^4 \times 10^{-5} = 0.10\ \text{A}\)。