AP Physics C: Mechanics 微積分基礎・力學
Unit 7 振盪 Oscillations（微積分）
Physics C 的振盪單元從牛頓第二定律寫出簡諧運動的微分方程 \(\dfrac{d^2x}{dt^2} = -\omega^2 x\)，解出 \(x(t) = A\cos(\omega t + \phi)\)，並由方程式的係數直接讀出角頻率與週期。本單元也涵蓋單擺、物理擺與振盪中的能量。
核心觀念
簡諧運動的微分方程
彈簧–質量系統：\(m\ddot x = -kx\)，即
只要某系統的運動方程寫成「二階導數 = 負常數 × 自身」，就是簡諧運動，而且 \(\omega^2\) 就是那個常數。
通解與相位
\(A\) 與 \(\phi\) 由初始條件決定；\(T = 2\pi/\omega\)。
單擺與物理擺
- 單擺（小角度 \(\sin\theta \approx \theta\)）：\(\ddot\theta = -\dfrac{g}{L}\theta\)，\(T = 2\pi\sqrt{L/g}\)。
- 物理擺（physical pendulum）：剛體繞非質心軸擺動，\(d\) 為轉軸到質心距離，
振盪中的能量
\(E = \tfrac12 kA^2 = \tfrac12 mv^2 + \tfrac12 kx^2\)，可解出任一位置的速率 \(v = \omega\sqrt{A^2 - x^2}\)。
常見錯誤
這幾個觀念最常被扣分
- 把角頻率 \(\omega\)（rad/s）和頻率 \(f\)（Hz）混用：\(\omega = 2\pi f\)。
- 物理擺用單擺公式：要用 \(I\) 與質心距離 \(d\)。
- 鉛直彈簧以為週期與重力有關：重力只移動平衡點，不改變週期。
推薦影音
Physics C 簡諧運動複習（Flipping Physics）
簡述：證明水平彈簧系統是簡諧運動並推導週期，整理位置、速度、加速度隨時間的函數與圖形，以及振盪中的能量守恆。
練習題
以下取 \(g = 9.8\ \text{m/s}^2\)。
練習 1：從微分方程讀週期
某系統運動方程為 \(\ddot x + 25x = 0\)（SI 單位）。角頻率與週期多少？
看解答
\(\omega^2 = 25 \Rightarrow \omega = 5.0\ \text{rad/s}\)，\(T = 2\pi/5 \approx 1.26\ \text{s}\)。
練習 2：由初始條件求振幅
\(k = 50\ \text{N/m}\)、\(m = 0.50\ \text{kg}\) 的彈簧振子，\(t = 0\) 時 \(x = 0.10\ \text{m}\)、\(v = 1.0\ \text{m/s}\)。求振幅。
看解答
\(\omega = \sqrt{50/0.5} = 10\ \text{rad/s}\)。
練習 3：最大加速度
承練習 2，最大速率與最大加速度各多少？
看解答
\(v_{max} = A\omega \approx 0.141 \times 10 = 1.41\ \text{m/s}\)。
\(a_{max} = A\omega^2 \approx 0.141 \times 100 = 14.1\ \text{m/s}^2\)。
練習 4：物理擺：細桿
長 \(1.0\ \text{m}\) 的均勻細桿繞一端擺動（小角度），週期多少？
看解答
\(I = \tfrac13 ML^2\)、\(d = L/2\)：
練習 5：證明 SHM：U 形管液柱
U 形管中總長 \(L\) 的液柱，一側液面比平衡位置高 \(x\) 時，回復力 \(F = -2\rho Agx\)（\(A\) 為截面積）。液柱總質量 \(m = \rho AL\)。證明液面做簡諧運動並求週期。
看解答
\(\rho AL\,\ddot x = -2\rho Ag\,x \Rightarrow \ddot x = -\dfrac{2g}{L}x\)
符合 SHM 形式，\(\omega = \sqrt{2g/L}\)：