AP Physics C: E&M 微積分基礎・電磁學

建立 2026-11-13 更新 2026-11-13

Unit 8 電荷、電場與高斯定律 Electric Charges, Fields, and Gauss's Law

本單元從庫侖定律與電場出發，用積分計算連續電荷分布（帶電細桿、圓環）的電場，並學習高斯定律（Gauss's law）：通過封閉曲面的電通量正比於曲面內的淨電荷。遇到球、圓柱、平面這類高度對稱的電荷分布，高斯定律能直接求出電場。

核心觀念

連續電荷分布的電場

把電荷切成小塊 \(dq\)，每塊看成點電荷，再向量積分：

\[ d\vec E = k\frac{dq}{r^2}\hat r, \qquad \vec E = \int d\vec E \]

電荷密度：線 \(\lambda = dq/dl\)、面 \(\sigma = dq/dA\)、體 \(\rho = dq/dV\)。先用對稱性判斷哪些分量會抵消，只積分剩下的分量。

電通量

\[ \Phi_E = \int\vec E\cdot d\vec A \]

高斯定律

\[ \oint\vec E\cdot d\vec A = \frac{Q_{enc}}{\varepsilon_0}, \quad \varepsilon_0 = 8.85\times10^{-12}\ \text{C}^2/(\text{N·m}^2) \]

使用步驟：

判斷對稱性（球、圓柱、平面）。
選擇高斯面，使 \(E\) 在面上大小固定且與 \(d\vec A\) 平行（或垂直）。
計算 \(Q_{enc}\)，解出 \(E\)。

三種對稱的結果

電荷分布	電場
點電荷／均勻帶電球殼外	\(E = \dfrac{kQ}{r^2}\)
無限長帶電線（線密度 \(\lambda\)）	\(E = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}\)
無限大帶電平面（面密度 \(\sigma\)）	\(E = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\)
均勻帶電實心球內部（\(r < R\)）	\(E = \dfrac{kQr}{R^3}\)

常見錯誤

這幾個觀念最常被扣分

以為高斯定律只適用於對稱情況：它永遠成立，只是不對稱時無法用來「求」\(E\)。
\(Q_{enc}\) 用了全部電荷，而非高斯面內部的電荷。
連續電荷積分時沒有先用對稱性消掉分量。

練習題

以下取 \(k = 9.0\times10^9\ \text{N·m}^2/\text{C}^2\)、\(\varepsilon_0 = 8.85\times10^{-12}\ \text{C}^2/(\text{N·m}^2)\)。

練習 1：帶電細桿延長線上的電場

長 \(L\)、總電荷 \(Q\) 均勻分布的細桿放在 \(x = 0\) 到 \(x = L\)。求 \(x = L + a\) 處（延長線上）的電場。

看解答

\(dq = \dfrac{Q}{L}dx\)，到觀察點距離 \(L + a - x\)：

\[ E = \int_0^L \frac{kQ}{L}\frac{dx}{(L + a - x)^2} = \frac{kQ}{L}\left[\frac{1}{a} - \frac{1}{L + a}\right] = \frac{kQ}{a(L + a)} \]

檢查：\(a \gg L\) 時 \(\approx kQ/a^2\)，像點電荷 ✓。

練習 2：帶電圓環軸上的電場

半徑 \(R\)、電荷 \(Q\) 的圓環，求軸上距圓心 \(x\) 處的電場。

看解答

對稱性使垂直軸的分量抵消，只剩軸向分量 \(dE_x = k\dfrac{dq}{r^2}\cdot\dfrac{x}{r}\)，\(r = \sqrt{x^2 + R^2}\) 對每個 \(dq\) 都相同：

\[ E = \frac{kQx}{(x^2 + R^2)^{3/2}} \]

練習 3：均勻帶電實心球內部

半徑 \(R\)、總電荷 \(Q\) 均勻分布的絕緣實心球，求內部 \(r < R\) 處的電場。

看解答

取半徑 \(r\) 的同心球面為高斯面，\(Q_{enc} = Q\dfrac{r^3}{R^3}\)：

\[ E(4\pi r^2) = \frac{Qr^3}{\varepsilon_0R^3} \Rightarrow E = \frac{Qr}{4\pi\varepsilon_0R^3} = \frac{kQr}{R^3} \]

內部電場隨 \(r\) 線性增加，在球面 \(r = R\) 時與外部公式銜接。

練習 4：無限長帶電線

線密度 \(\lambda = 2.0\ \mu\text{C/m}\) 的無限長帶電線，距離 \(0.10\ \text{m}\) 處電場多大？

看解答

\[ E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r} = \frac{2.0\times10^{-6}}{2\pi(8.85\times10^{-12})(0.10)} \approx 3.6\times10^5\ \text{N/C} \]

練習 5：電通量

一個邊長 \(0.20\ \text{m}\) 的立方體內部有 \(+3.0\ \text{nC}\) 的點電荷。通過立方體表面的總電通量多少？通過其中一面呢（電荷在中心）？

看解答

\[ \Phi = \frac{Q}{\varepsilon_0} = \frac{3.0\times10^{-9}}{8.85\times10^{-12}} \approx 339\ \text{N·m}^2/\text{C} \]

電荷在中心時六面對稱，每面 \(\approx 56.5\ \text{N·m}^2/\text{C}\)。總通量與立方體大小無關。