AP Physics C: Mechanics 微積分基礎・力學
Unit 6 轉動系統的能量與動量 Energy and Momentum of Rotating Systems（微積分）
本單元把能量與動量守恆延伸到轉動系統：轉動動能 \(\tfrac12 I\omega^2\)、力矩做功 \(W = \int\tau\,d\theta\)、角動量 \(\vec L = \vec r\times\vec p\) 與 \(\vec\tau = d\vec L/dt\)。Physics C 常考滾動、質點撞擊轉動桿、以及軌道運動中的角動量守恆。
核心觀念
轉動功與功率
功–能定理：\(W_{net} = \Delta K_{rot}\)。
滾動而不滑動
\(v_{cm} = R\omega\)、\(a_{cm} = R\alpha\)，總動能 \(K = \tfrac12 Mv_{cm}^2 + \tfrac12 I_{cm}\omega^2\)。靜摩擦力不做功（接觸點瞬間靜止），所以力學能守恆。
物體以 \(I_{cm} = \beta MR^2\) 從高度 \(h\) 滾下：
角動量
- 質點：\(\vec L = \vec r\times\vec p\)，大小 \(L = mvr\sin\theta\)。即使是直線運動，相對某點也可能有角動量。
- 剛體：\(L = I\omega\)。
- 轉動版第二定律：\(\vec\tau_{net} = \dfrac{d\vec L}{dt}\)。
角動量守恆
外力矩淨和為零時 \(L\) 守恆。質點撞上可轉動的桿子時，轉軸處的力不產生力矩，所以對轉軸的角動量守恆（但線動量不守恆，因為轉軸施力）。
常見錯誤
這幾個觀念最常被扣分
- 質點撞桿問題用線動量守恆：轉軸有外力，要用角動量守恆。
- 滾動時以為摩擦力消耗能量。
- 質點角動量忘了乘 \(\sin\theta\)（只用垂直距離 \(r_\perp\)）。
推薦影音
轉動能量與角動量考前複習（Allen Tsao The STEM Coach）
簡述：依新版 CED 複習 Physics C 的轉動動能、滾動、角動量與角動量守恆，並解選擇題與自由作答題。
練習題
以下取 \(g = 9.8\ \text{m/s}^2\)。
練習 1：變力矩做功
轉輪受力矩 \(\tau(\theta) = 4\theta\ \text{(N·m)}\)，由 \(\theta = 0\) 轉到 \(\theta = 3\ \text{rad}\)。力矩做功多少？若 \(I = 2.0\ \text{kg·m}^2\) 且初始靜止，最終角速度多少？
看解答
\(W = \int_0^3 4\theta\,d\theta = 2\theta^2\Big|_0^3 = 18\ \text{J}\)。
\(\tfrac12(2.0)\omega^2 = 18 \Rightarrow \omega \approx 4.2\ \text{rad/s}\)。
練習 2：比較滾動物體
實心球（\(\beta = 2/5\)）與細環（\(\beta = 1\)）從同一個 \(2.0\ \text{m}\) 高斜面滾下，到底部的速率各多少？
看解答
實心球：\(v = \sqrt{\dfrac{2(9.8)(2.0)}{1.4}} \approx 5.3\ \text{m/s}\)。
細環：\(v = \sqrt{\dfrac{2(9.8)(2.0)}{2}} \approx 4.4\ \text{m/s}\)。
實心球先到底部。
練習 3：子彈打中轉動桿
長 \(1.0\ \text{m}\)、\(3.0\ \text{kg}\) 的均勻細桿可繞上端轉動，靜止下垂。\(0.020\ \text{kg}\) 的子彈以 \(300\ \text{m/s}\) 水平射入桿的下端並嵌入。碰後瞬間桿的角速度多少？
看解答
對轉軸角動量守恆：\(mvL = \left(\tfrac13 ML^2 + mL^2\right)\omega\)
練習 4：質點的角動量
\(2.0\ \text{kg}\) 的質點在 \(\vec r = (3\hat i)\ \text{m}\) 處，以 \(\vec v = (4\hat j)\ \text{m/s}\) 運動。相對原點的角動量？
看解答
練習 5：力矩改變角動量
輪子角動量 \(L(t) = 3t^2 + 2\ \text{(kg·m}^2/\text{s)}\)，求 \(t = 2\ \text{s}\) 時的淨力矩。