AP Physics C: E&M 微積分基礎・電磁學
Unit 9 電位 Electric Potential
電位（electric potential）是單位電荷的電位能，是純量，比電場（向量）更容易疊加。本單元學習電位能、電位與電場的積分／微分關係 \(\Delta V = -\int\vec E\cdot d\vec r\) 與 \(E_x = -\dfrac{dV}{dx}\)，計算連續電荷分布的電位，並用等位面理解電場。
核心觀念
電位能與電位
- 兩點電荷電位能：\(U_E = \dfrac{kq_1q_2}{r}\)；多電荷系統把每一對相加。
- 電位：\(V = \dfrac{U_E}{q}\)，點電荷 \(V = \dfrac{kQ}{r}\)（無窮遠為零）。
- 功與能：外力把電荷 \(q\) 從 A 緩慢移到 B 做的功 \(W = q(V_B - V_A)\)。
電場與電位的關係
電場指向電位下降最快的方向；等位面與電場線處處垂直。
連續電荷分布的電位
因為電位是純量，不需處理分量，通常比直接積分電場簡單。也可以先用高斯定律求 \(E\)，再積分得到 \(V\)。
常見錯誤
這幾個觀念最常被扣分
- \(\Delta V = -\int E\,dr\) 漏掉負號。
- 電位疊加時錯用向量相加：電位是純量，直接加（帶正負號）。
- 以為電位為零的地方電場也為零。
推薦影音
電位複習（Flipping Physics）
簡述：從保守的靜電力推導電位能與電位，說明電位與電場的積分／微分關係，對應本頁全部小節。
練習題
以下取 \(k = 9.0\times10^9\ \text{N·m}^2/\text{C}^2\)。
練習 1：三電荷系統的電位能
三個 \(+1.0\ \mu\text{C}\) 的電荷放在邊長 \(0.10\ \text{m}\) 的正三角形頂點。系統總電位能多少？
看解答
三對電荷，每對 \(U = \dfrac{k(1.0\times10^{-6})^2}{0.10} = 0.090\ \text{J}\)。
總電位能 \(= 3 \times 0.090 = 0.27\ \text{J}\)。
練習 2：由電位求電場
某區域電位 \(V(x) = 5x^2 - 3x\ \text{(V)}\)，求 \(x = 2\ \text{m}\) 處的電場。
看解答
電場大小 \(17\ \text{V/m}\)，指向 \(-x\)。
練習 3：帶電圓環軸上的電位
半徑 \(R\)、電荷 \(Q\) 的圓環，求軸上距圓心 \(x\) 處的電位，並由此求電場。
看解答
每個 \(dq\) 到觀察點距離相同：\(V = \dfrac{kQ}{\sqrt{x^2 + R^2}}\)。
與 Unit 8 直接積分電場的結果相同，但計算簡單得多。
練習 4：由電場積分求電位差
均勻帶電球殼（半徑 \(R\)、電荷 \(Q\)）外部電場 \(E = kQ/r^2\)。求 \(r = 2R\) 與 \(r = R\) 兩點的電位差 \(V(R) - V(2R)\)。
看解答
練習 5：電荷被加速
\(+2.0\ \text{nC}\)、\(m = 1.0\times10^{-9}\ \text{kg}\) 的小粒子從 \(V = 500\ \text{V}\) 處由靜止移到 \(V = 100\ \text{V}\) 處（只受電力）。最終速率多少？
看解答
\(K = -q\Delta V = -(2.0\times10^{-9})(100 - 500) = 8.0\times10^{-7}\ \text{J}\)。