AP Physics 1 代數基礎・力學
Unit 6 轉動系統的能量與動量 Energy and Momentum of Rotating Systems
轉動中的物體也有動能與動量：轉動動能 \(K = \tfrac12 I\omega^2\)，角動量 \(L = I\omega\)。本單元把 Unit 3 的能量守恆與 Unit 4 的動量守恆搬到轉動系統，處理滾動、角衝量、角動量守恆（例如溜冰選手收手轉更快），以及衛星軌道中的能量與角動量。
核心觀念
轉動動能怎麼算？
力矩對轉動物體做的功 \(W = \tau\Delta\theta\)，同樣滿足功–能定理 \(W_{net} = \Delta K_{rot}\)。
滾動而不滑動時，能量怎麼分配？
物體滾動而不滑動（rolling without slipping）時 \(v_{cm} = R\omega\)，總動能是移動加轉動：
從同一斜面滾下時，\(I\) 相對 \(MR^2\) 越小的物體，轉動分走的能量越少，底部速度越快：實心球 > 實心圓柱 > 細環。
角動量與角衝量
- 剛體：\(L = I\omega\)；質點相對某軸：\(L = mvr_\perp\)。
- 角衝量：\(\tau\Delta t = \Delta L\)，與 \(F\Delta t = \Delta p\) 對應。
角動量什麼時候守恆？
系統所受外力矩淨和為零時，總角動量守恆：
溜冰選手收手讓 \(I\) 變小，所以 \(\omega\) 變大；但轉動動能 \(\tfrac12 I\omega^2 = \dfrac{L^2}{2I}\) 會增加，多出的能量來自選手手臂肌肉做的功。
衛星與軌道
圓軌道上萬有引力提供向心力：\(\dfrac{GMm}{r^2} = \dfrac{mv^2}{r}\)，得 \(v = \sqrt{GM/r}\)。橢圓軌道上角動量守恆，所以衛星在近地點速度最快、遠地點最慢。
常見錯誤
這幾個觀念最常被扣分
- 滾動物體只算 \(\tfrac12 Mv^2\)，漏掉轉動動能。
- 以為角動量守恆時轉動動能也守恆。
- 物體落到轉盤上屬於「轉動的完全非彈性碰撞」：角動量守恆、動能不守恆。
推薦影音
轉動能量與角動量考前複習（Allen Tsao The STEM Coach）
簡述：涵蓋轉動動能、滾動、角動量與角動量守恆，並解選擇題與自由作答題。影片標題寫 Unit 7，是作者沿用舊編號，內容對應本站 Unit 6。
練習題
以下取 \(g = 9.8\ \text{m/s}^2\)。
練習 1：飛輪的動能
轉動慣量 \(0.50\ \text{kg·m}^2\) 的飛輪以 \(40\ \text{rad/s}\) 轉動，轉動動能多少？
看解答
練習 2：實心圓柱滾下斜面
實心圓柱從高 \(1.2\ \text{m}\) 的斜面頂端由靜止滾下（不滑動），到底部時質心速率多少？
看解答
\(Mgh = \tfrac12 Mv^2 + \tfrac12\left(\tfrac12 MR^2\right)\left(\tfrac{v}{R}\right)^2 = \tfrac34 Mv^2\)
比無摩擦滑下的 \(\sqrt{2gh} \approx 4.8\ \text{m/s}\) 慢。
練習 3：溜冰選手收手
溜冰選手張開雙臂時 \(I = 4.0\ \text{kg·m}^2\)、轉速 \(2.0\ \text{rad/s}\)；收手後 \(I = 1.6\ \text{kg·m}^2\)。收手後角速度多少？轉動動能變為原本幾倍？
看解答
\(K_i = \tfrac12(4.0)(2.0^2) = 8.0\ \text{J}\)，\(K_f = \tfrac12(1.6)(5.0^2) = 20\ \text{J}\)，變為 2.5 倍。
練習 4：黏土落到轉盤上
半徑 \(0.50\ \text{m}\)、\(I = 2.0\ \text{kg·m}^2\) 的轉盤以 \(3.0\ \text{rad/s}\) 轉動，一塊 \(1.0\ \text{kg}\) 的黏土垂直落下黏在盤緣。新的角速度多少？
看解答
黏土落下前對轉軸沒有角動量；落下後 \(I_f = 2.0 + 1.0(0.50^2) = 2.25\ \text{kg·m}^2\)。
練習 5：角衝量
一個 \(I = 0.20\ \text{kg·m}^2\) 的靜止輪子受 \(1.5\ \text{N·m}\) 的定力矩作用 \(4.0\ \text{s}\)。最終角動量與角速度各多少？
看解答
\(\Delta L = \tau\Delta t = 1.5 \times 4.0 = 6.0\ \text{kg·m}^2/\text{s}\)。