AP Physics 1 代數基礎・力學

建立 2026-11-13 更新 2026-11-13

Unit 7 振盪 Oscillations

簡諧運動（simple harmonic motion, SHM）是回復力與位移成正比、方向相反時產生的週期性運動，彈簧–質量系統與小角度單擺都是典型例子。本單元學習週期、頻率、振幅的關係，用正弦／餘弦函數描述位置隨時間的變化，並分析振盪過程中動能與位能的轉換。

核心觀念

什麼條件會產生簡諧運動？

回復力滿足 \(F = -kx\)（與離開平衡點的位移成正比、方向相反）時，物體做簡諧運動。平衡點處淨力為零、速度最大；最大位移處（振幅 \(A\)）速度為零、加速度最大。

週期與哪些量有關？

\[ T_s = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \quad\text{（彈簧）} \qquad T_p = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} \quad\text{（單擺，小角度）} \]

彈簧週期與振幅、\(g\) 都無關；鉛直彈簧的週期也一樣。
單擺週期與擺錘質量、振幅（小角度時）無關。
頻率 \(f = 1/T\)，單位 Hz。

位置怎麼隨時間變化？

若 \(t = 0\) 時物體在 \(x = +A\) 釋放：

\[ x(t) = A\cos(2\pi f t) \]

\(x\)–\(t\) 圖是餘弦曲線；速度最大值 \(v_{max} = A\omega = 2\pi f A\)。

振盪中的能量轉換

彈簧系統總力學能 \(E = \tfrac12 kA^2\) 固定，在動能與彈性位能之間互換：

\[ \tfrac12 kA^2 = \tfrac12 mv^2 + \tfrac12 kx^2 \Rightarrow v_{max} = A\sqrt{\frac{k}{m}} \]

常見錯誤

這幾個觀念最常被扣分

以為振幅越大週期越長：簡諧運動的週期與振幅無關。
把單擺擺錘質量放進週期公式。
在最大位移處寫「加速度為零」：那裡速度為零，但加速度最大。

練習題

以下取 \(g = 9.8\ \text{m/s}^2\)。

練習 1：彈簧週期

\(0.50\ \text{kg}\) 的物體接在 \(k = 80\ \text{N/m}\) 的彈簧上振盪。週期與頻率各多少？

看解答

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{0.50}{80}} \approx 0.50\ \text{s}, \qquad f = \frac1T \approx 2.0\ \text{Hz} \]

練習 2：秒擺

週期剛好 \(2.0\ \text{s}\) 的單擺，擺長要多長？

看解答

\[ L = g\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2 = 9.8\left(\frac{2.0}{2\pi}\right)^2 \approx 0.99\ \text{m} \]

練習 3：最大速率

\(k = 200\ \text{N/m}\) 的彈簧接 \(2.0\ \text{kg}\) 物體，以振幅 \(0.10\ \text{m}\) 振盪。最大速率與總能量各多少？

看解答

\(E = \tfrac12 kA^2 = \tfrac12(200)(0.10^2) = 1.0\ \text{J}\)。

\[ v_{max} = A\sqrt{\frac{k}{m}} = 0.10\sqrt{100} = 1.0\ \text{m/s} \]

練習 4：質量變四倍

彈簧振子的質量改為原本 4 倍，週期變為原本幾倍？若改成振幅變 2 倍呢？

看解答

\(T \propto \sqrt{m}\)，質量 4 倍時週期變 2 倍；振幅改變不影響週期。

練習 5：任意位置的速率

承練習 3，物體位於 \(x = 0.060\ \text{m}\) 時速率多少？

看解答

\(\tfrac12 mv^2 = \tfrac12 kA^2 - \tfrac12 kx^2\)

\[ v = \sqrt{\frac{k}{m}(A^2 - x^2)} = \sqrt{100(0.010 - 0.0036)} = 0.80\ \text{m/s} \]