AP Physics C: Mechanics 微積分基礎・力學

建立 2026-11-13 更新 2026-11-13

Unit 5 力矩與轉動動力學 Torque and Rotational Dynamics（微積分）

Physics C 的轉動單元用積分計算連續物體的轉動慣量 \(I = \int r^2\,dm\)，用外積定義力矩 \(\vec\tau = \vec r\times\vec F\)，並以 \(\Sigma\tau = I\alpha\) 分析滑輪、轉盤與靜力平衡。本單元也涵蓋角速度與角加速度的微積分關係。

核心觀念

轉動運動學的微積分形式

\[ \omega = \frac{d\theta}{dt}, \qquad \alpha = \frac{d\omega}{dt} \]

邊緣一點：\(v = r\omega\)、切線加速度 \(a_t = r\alpha\)、向心加速度 \(a_c = r\omega^2\)。

轉動慣量的積分

\[ I = \int r^2\,dm \]

以均勻細桿繞一端為例：\(dm = \dfrac{M}{L}dx\)，

\[ I = \int_0^L x^2\frac{M}{L}\,dx = \frac13 ML^2 \]

平行軸定理 \(I = I_{cm} + Md^2\)：細桿繞中心 \(\tfrac{1}{12}ML^2\)，移到端點加上 \(M(L/2)^2\) 得 \(\tfrac13 ML^2\)，兩種算法一致。

力矩是外積

\[ \vec\tau = \vec r\times\vec F, \qquad |\tau| = rF\sin\theta \]

方向由右手定則決定，逆時針轉動通常取為正。

轉動版牛頓第二定律與平衡

\(\Sigma\tau = I\alpha\)。有質量的滑輪問題要同時寫「每個物體的 \(\Sigma F = ma\)」與「滑輪的 \(\Sigma\tau = I\alpha\)」，再用 \(a = R\alpha\) 連結。靜力平衡需 \(\Sigma\vec F = 0\) 且 \(\Sigma\vec\tau = 0\)。

常見錯誤

這幾個觀念最常被扣分

有質量的滑輪兩側繩張力不同，不能設成同一個 \(T\)。
轉動慣量積分時 \(r\) 是到轉軸的距離，不是到原點。
平行軸定理的 \(I_{cm}\) 必須是通過質心的軸。

練習題

以下取 \(g = 9.8\ \text{m/s}^2\)。

練習 1：角加速度隨時間變化

轉盤角位置 \(\theta(t) = 2t^3 - t^2\ \text{(rad)}\)。求 \(t = 1\ \text{s}\) 時的角速度與角加速度。

看解答

\(\omega = 6t^2 - 2t\)，\(\alpha = 12t - 2\)。

\(t = 1\)：\(\omega = 4\ \text{rad/s}\)，\(\alpha = 10\ \text{rad/s}^2\)。

練習 2：非均勻細桿的轉動慣量

長 \(L\) 的細桿線密度 \(\lambda = cx\)（\(x\) 從轉軸端量起），總質量 \(M\)。以 \(M\)、\(L\) 表示繞該端的轉動慣量。

看解答

\(M = \int_0^L cx\,dx = \tfrac12 cL^2 \Rightarrow c = \dfrac{2M}{L^2}\)。

\[ I = \int_0^L x^2(cx)\,dx = \frac{cL^4}{4} = \frac{2M}{L^2}\cdot\frac{L^4}{4} = \frac12 ML^2 \]

比均勻細桿的 \(\tfrac13 ML^2\) 大，因為質量集中在遠端。

練習 3：有質量的滑輪

\(2.0\ \text{kg}\) 的物體懸吊在繞過滑輪的繩子一端，滑輪是 \(R = 0.10\ \text{m}\)、\(M = 4.0\ \text{kg}\) 的實心圓盤，繩子另一端固定在滑輪上（物體下降時滑輪轉動）。求物體的加速度。

看解答

物體：\(mg - T = ma\)；滑輪：\(TR = \tfrac12 MR^2\alpha = \tfrac12 MRa\)，所以 \(T = \tfrac12 Ma\)。

\[ a = \frac{mg}{m + M/2} = \frac{2.0 \times 9.8}{2.0 + 2.0} = 4.9\ \text{m/s}^2 \]

練習 4：外積求力矩

力 \(\vec F = (3\hat i + 4\hat j)\ \text{N}\) 作用在 \(\vec r = (2\hat i)\ \text{m}\) 處，求相對原點的力矩。

看解答

\[ \vec\tau = \vec r\times\vec F = (2\hat i)\times(3\hat i + 4\hat j) = 8(\hat i\times\hat j) = 8\hat k\ \text{N·m} \]

大小 \(8\ \text{N·m}\)，方向 \(+z\)（逆時針）。

練習 5：梯子靠牆

\(5.0\ \text{m}\)、\(20\ \text{kg}\) 的均勻梯子靠在光滑牆上，底端與地面夾 \(60^\circ\)。牆對梯子的正向力多大？地面至少要提供多少摩擦力？

看解答

以梯腳為轉軸：牆的正向力 \(N_w\) 力臂 \(= 5.0\sin60^\circ\)，重力力臂 \(= 2.5\cos60^\circ\)。

\[ N_w(5.0\sin60^\circ) = 20(9.8)(2.5\cos60^\circ) \Rightarrow N_w \approx 56.6\ \text{N} \]

水平平衡：地面摩擦力 \(f = N_w \approx 57\ \text{N}\)。