AP Physics C: E&M 微積分基礎・電磁學
Unit 11 電路 Electric Circuits（含 RC 電路）
Physics C 的電路單元從微觀的漂移速度解釋電流與電阻，再用克希荷夫定律分析直流電路，最後用一階微分方程描述 RC 電路的充放電：電容器電荷隨時間以指數形式變化，時間常數 \(\tau = RC\)。
核心觀念
電流的微觀描述
\(n\) 為單位體積載子數，\(v_d\) 為漂移速度（drift velocity），通常只有 mm/s 等級。電流密度 \(J = I/A\)。
電阻與電阻率
電阻率 \(\rho\) 隨溫度升高而增加（金屬）。歐姆定律 \(\Delta V = IR\)，功率 \(P = I\Delta V\)。
克希荷夫定律
- 節點定律：\(\Sigma I_{in} = \Sigma I_{out}\)（電荷守恆）。
- 迴路定律：\(\Sigma\Delta V = 0\)（能量守恆）。沿電流方向經過電阻電位下降 \(IR\)，從電池負極到正極電位上升 \(\varepsilon\)。
RC 電路充電
電池 \(\varepsilon\)、電阻 \(R\)、電容 \(C\) 串聯，迴路定律：
解得：
RC 電路放電
經過一個時間常數 \(\tau = RC\)，充電達 63%、放電剩 37%。
常見錯誤
這幾個觀念最常被扣分
- \(t = 0\) 與 \(t \to \infty\) 搞混：剛接通時電容器像導線，穩定後像斷路。
- 時間常數用到電路中不相關的電阻：要用電容器「看到」的等效電阻。
- 迴路定律正負號不一致。
推薦影音
電流、電阻與簡單電路（Flipping Physics）
簡述：從漂移速度推導電流、介紹電阻率與歐姆定律，並分析簡單電路，對應本頁前半段。
串聯與並聯電路（Flipping Physics）
簡述：用歐姆定律與電荷守恆推導串並聯等效電阻與等效電容。
RC 電路（Flipping Physics）
簡述：推導 RC 電路充放電的微分方程與解，並說明時間常數與 \(t=0\)、\(t\to\infty\) 的電路行為。
練習題
練習 1：漂移速度
截面積 \(1.0\times10^{-6}\ \text{m}^2\) 的銅線載 \(2.0\ \text{A}\) 電流，銅的自由電子密度 \(n = 8.5\times10^{28}\ \text{m}^{-3}\)。漂移速度多少？
看解答
只有約 0.15 mm/s。
練習 2：克希荷夫定律
兩個電池 \(\varepsilon_1 = 12\ \text{V}\)、\(\varepsilon_2 = 6.0\ \text{V}\) 以正極相對的方式（互相對抗）串聯 \(3.0\ \Omega\) 電阻形成單一迴路。電流多少？
看解答
兩電池方向相反，淨電動勢 \(12 - 6.0 = 6.0\ \text{V}\)：
電流方向由較大的 12 V 電池決定。
練習 3：RC 充電
\(R = 10\ \text{k}\Omega\)、\(C = 100\ \mu\text{F}\) 串接 \(9.0\ \text{V}\) 電池，電容器初始未帶電。求時間常數、最終電荷，以及 \(t = 2.0\ \text{s}\) 時的電荷。
看解答
\(\tau = RC = (10^4)(10^{-4}) = 1.0\ \text{s}\)，\(Q_{max} = C\varepsilon = 9.0\times10^{-4}\ \text{C}\)。
練習 4：RC 放電
承練習 3，電容器充滿後改接到 \(R\) 上放電。電荷降到一半需要多久？
看解答
練習 5：\(t = 0\) 與穩定狀態
\(12\ \text{V}\) 電池串接 \(R_1 = 4.0\ \Omega\)，之後分成兩條並聯支路：一條是 \(R_2 = 8.0\ \Omega\)，另一條是未充電的電容器 \(C\)。求開關閉合瞬間與很久之後通過 \(R_1\) 的電流。
看解答
\(t = 0\)：電容器像導線，把 \(R_2\) 短路，\(I = 12/4.0 = 3.0\ \text{A}\)。
\(t \to \infty\)：電容器像斷路，\(I = 12/(4.0 + 8.0) = 1.0\ \text{A}\)。