AP Physics C: Mechanics 微積分基礎・力學
Unit 1 運動學 Kinematics（微積分）
Physics C 的運動學用微積分描述運動：速度是位置對時間的導數，加速度是速度的導數；反過來，對加速度積分得到速度，對速度積分得到位移。這讓我們能處理加速度隨時間變化的運動，而不只限於等加速度。本單元也涵蓋向量、拋體運動與相對運動。
核心觀念
位置、速度、加速度的微積分關係
圖形上：導數 = 斜率，積分 = 曲線下面積。
加速度是位置的函數時怎麼辦？
若已知 \(a(x)\) 而非 \(a(t)\)，用連鎖律：
二維運動與向量
位置向量 \(\vec r = x\hat i + y\hat j\)，速度 \(\vec v = \dfrac{d\vec r}{dt}\)。拋體運動中水平與鉛直方向獨立，鉛直方向 \(a_y = -g\)。等加速度時，對 \(a\) 積分兩次即得熟悉的運動學方程式 \(x = x_0 + v_0t + \tfrac12 at^2\)。
相對運動
\(\vec v_{A/C} = \vec v_{A/B} + \vec v_{B/C}\)，加速度在等速移動的參考系中相同。
常見錯誤
這幾個觀念最常被扣分
- 加速度不固定時仍套用等加速度公式。
- 積分後忘了加積分常數（初始條件）。
- 「位移」與「路徑長」混淆：速度變號時，路徑長要分段取絕對值積分。
推薦影音
Physics C 運動學複習（Flipping Physics）
簡述：以微積分觀點複習位置、速度、加速度的導數與積分關係，以及拋體運動，對應本頁全部小節。
練習題
練習 1：由位置求速度與加速度
質點位置 \(x(t) = 2t^3 - 6t^2 + 4\ \text{(m)}\)。求 \(t = 3\ \text{s}\) 的速度與加速度，以及質點何時瞬間靜止。
看解答
\(v = 6t^2 - 12t\)，\(a = 12t - 12\)。
\(t = 3\)：\(v = 54 - 36 = 18\ \text{m/s}\)，\(a = 24\ \text{m/s}^2\)。
\(v = 0 \Rightarrow 6t(t - 2) = 0\)，在 \(t = 0\) 與 \(t = 2\ \text{s}\) 瞬間靜止。
練習 2：由加速度積分求速度
物體由靜止出發，加速度 \(a(t) = 3t^2\ \text{(m/s}^2\text{)}\)。求 \(t = 2\ \text{s}\) 的速度與 \(0\)～\(2\ \text{s}\) 的位移。
看解答
\(v(t) = \int_0^t 3t^2\,dt = t^3\)，\(v(2) = 8\ \text{m/s}\)。
\(\Delta x = \int_0^2 t^3\,dt = \dfrac{t^4}{4}\Big|_0^2 = 4\ \text{m}\)。
練習 3：位移與路徑長
速度 \(v(t) = 4 - 2t\ \text{(m/s)}\)，求 \(0\)～\(4\ \text{s}\) 的位移與路徑長。
看解答
位移 \(= \int_0^4 (4 - 2t)\,dt = [4t - t^2]_0^4 = 0\ \text{m}\)。
\(t = 2\) 時速度變號，路徑長 \(= \int_0^2 (4-2t)dt + \left|\int_2^4 (4-2t)dt\right| = 4 + 4 = 8\ \text{m}\)。
練習 4：加速度是位置的函數
質點加速度 \(a = -4x\ \text{(m/s}^2\text{)}\)，在 \(x = 0\) 時速度 \(6.0\ \text{m/s}\)。質點最遠能到 \(x\) 多少？
看解答
\(\int_{6}^{v} v\,dv = \int_0^x -4x\,dx \Rightarrow \tfrac12(v^2 - 36) = -2x^2\)
最遠處 \(v = 0\)：\(2x^2 = 18 \Rightarrow x = 3.0\ \text{m}\)。
練習 5：從懸崖斜拋
從 \(45\ \text{m}\) 高的懸崖以 \(20\ \text{m/s}\)、仰角 \(37^\circ\) 拋出石頭（\(\sin37^\circ \approx 0.6\)），取 \(g = 9.8\ \text{m/s}^2\)。石頭多久落到崖下地面？
看解答
\(v_{0y} = 12\ \text{m/s}\)，以拋出點為原點、向上為正：\(-45 = 12t - 4.9t^2\)